Упр.17.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\log_{0{,}5}4x+\log_2\frac{x^2}{8}=8$$

$$\left(\log_{0{,}5}4+\log_{0{,}5}x\right)^2+\left(\log_2x^2-\log_28\right)=8$$

Так как $$\log_{0{,}5}4=-2,$$ а $$\log_2x^2=2\log_2x,\ \log_28=3,$$ получаем:

$$(-2-\log_2x)^2+2\log_2x-3=8$$

Пусть $$y=\log_2x.$$ Тогда

$$(-2-y)^2+2y-3=8$$

$$4+4y+y^2+2y-3=8$$

$$y^2+6y-7=0$$

$$D=6^2-4\cdot1\cdot(-7)=36+28=64$$

$$y_{1,2}=\frac{-6\pm8}{2}$$

$$y_1=-7,\quad y_2=1$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_2x=-7 \Rightarrow x=2^{-7}=\frac{1}{128}$$

$$\log_2x=1 \Rightarrow x=2$$

Оба значения подходят.

Ответ: $$\frac{1}{128};\ 2$$

$$\log_3^2x+\log_9^2x+\log_{27}^2x=\frac{49}{9}$$

Пусть $$t=\log_3x.$$ Тогда

$$\log_9x=\frac{1}{2}\log_3x=\frac{t}{2},\qquad \log_{27}x=\frac{1}{3}\log_3x=\frac{t}{3}$$

Подставим:

$$t^2+\left(\frac{t}{2}\right)^2+\left(\frac{t}{3}\right)^2=\frac{49}{9}$$

$$t^2+\frac{t^2}{4}+\frac{t^2}{9}=\frac{49}{9}$$

$$t^2\left(1+\frac14+\frac19\right)=\frac{49}{9}$$

$$t^2\cdot\frac{49}{36}=\frac{49}{9}$$

$$t^2=4$$

$$t=\pm2$$

Тогда

$$\log_3x=2 \Rightarrow x=9$$

$$\log_3x=-2 \Rightarrow x=\frac{1}{9}$$

Ответ: $$\frac{1}{9};\ 9$$