Упр.17.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_x 2 \cdot \log_{2x} 2 = \log_{4x} 2$$;
   б) $$\log_4(x+2)\cdot\log_x 2=1$$.

Рассмотрим оба уравнения.

а)

$$\log_x 2 \cdot \log_{2x} 2=\log_{4x} 2.$$

Переходим к логарифмам по основанию $$2$$:

$$\frac{1}{\log_2 x}\cdot \frac{1}{\log_2(2x)}=\frac{1}{\log_2(4x)}.$$

Обозначим $$t=\log_2 x$$. Тогда

$$\log_2(2x)=1+t,\qquad \log_2(4x)=2+t.$$

Получаем:

$$\frac{1}{t(1+t)}=\frac{1}{2+t}.$$

Отсюда

$$t(1+t)=2+t,$$

$$t^2=2,$$

$$t=\pm \sqrt{2}.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:

$$\log_2 x=\sqrt{2}\quad \Rightarrow \quad x=2^{\sqrt{2}},$$

$$\log_2 x=-\sqrt{2}\quad \Rightarrow \quad x=2^{-\sqrt{2}}.$$

Обе точки удовлетворяют области определения: $$x>0,\ x\ne 1,\ x\ne \frac12.$$

б)

$$\log_4(x+2)\cdot \log_x 2=1.$$

Переходим к основанию $$2$$:

$$\frac{\log_2(x+2)}{2}\cdot \frac{1}{\log_2 x}=1.$$

Тогда

$$\log_2(x+2)=2\log_2 x.$$

Следовательно,

$$\log_2(x+2)=\log_2 x^2,$$

$$x+2=x^2.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x^2-x-2=0,$$

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0,$$

$$x=2 \text{ или } x=-1.$$

С учётом области определения $$x>0,\ x\ne 1$$ подходит только $$x=2$$.

Ответ: а) $$2^{-\sqrt{2}},\ 2^{\sqrt{2}}$$; б) $$2$$.