Упр.17.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_{\sqrt{2}}(2x+1)=6$$
2. в) $$\log_{2\sqrt{2}}(16x)=4$$
3. б) $$\log_{\sqrt{3}+1}(3x+2\sqrt{3})=2$$
4. г) $$\log_{\sqrt{5}-1}(3x-2\sqrt{5})=2$$

Используем определение логарифма: если $$\log_a b = n,$$ то $$b=a^n.$$

Ход решения

1. $$\log_{\sqrt{2}}(2x+1)=6$$

   Тогда

   $$2x+1=(\sqrt{2})^6=2^3=8.$$

   $$2x=7,$$

   $$x=\frac{7}{2}=3{,}5.$$

2. $$\log_{\sqrt{3}+1}(3x+2\sqrt{3})=2$$

   Тогда

   $$3x+2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1)^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}.$$

   $$3x=4,$$

   $$x=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}.$$

3. $$\log_{2\sqrt{2}}(16x)=4$$

   Тогда

   $$16x=(2\sqrt{2})^4.$$

   $$2\sqrt{2}=2^{3/2}, \quad (2\sqrt{2})^4=2^6=64.$$

   Следовательно,

   $$16x=64,$$

   $$x=4.$$

4. $$\log_{\sqrt{5}-1}(3x-2\sqrt{5})=2$$

   Тогда

   $$3x-2\sqrt{5}=(\sqrt{5}-1)^2=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}.$$

   $$3x=6,$$

   $$x=2.$$

Ответ

а) $$3{,}5$$; б) $$\frac{4}{3}$$; в) $$4$$; г) $$2$$.