Упр.17.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\log_{3}(x)+1=2\log_{x}(3)$$
в) $$\log_{7}(x)-1=6\log_{x}(7)$$
б) $$2\log_{x}(5)-3=-\log_{5}(x)$$
г) $$\log_{2}(x)+9\log_{x}(2)=10$$
а) $$\log_3 x+1=2\log_x 3.$$
Используем формулу $$\log_x 3=\frac{1}{\log_3 x}.$$ Тогда
$$\log_3 x+1=\frac{2}{\log_3 x}.$$
Пусть $$y=\log_3 x,$$ тогда $$y+1=\frac{2}{y}.$$
Получаем:
$$y^2+y-2=0,$$
$$\left(y+2\right)\left(y-1\right)=0,$$
откуда $$y=-2$$ или $$y=1.$$
Тогда
$$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac{1}{9},$$
$$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3.$$
б) $$2\log_x 5-3=-\log_5 x.$$
Пусть $$y=\log_5 x,$$ тогда $$\log_x 5=\frac{1}{\log_5 x}=\frac{1}{y}.$$
Получаем:
$$\frac{2}{y}-3=-y.$$
Умножим на $$y$$:
$$2-3y=-y^2,$$
$$y^2-3y+2=0,$$
$$\left(y-1\right)\left(y-2\right)=0,$$
откуда $$y=1$$ или $$y=2.$$
Тогда
$$\log_5 x=1 \Rightarrow x=5,$$
$$\log_5 x=2 \Rightarrow x=25.$$
в) $$\log_7 x-1=6\log_x 7.$$
Пусть $$y=\log_7 x,$$ тогда $$\log_x 7=\frac{1}{y}.$$
Получаем:
$$y-1=\frac{6}{y}.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-y-6=0,$$
$$\left(y-3\right)\left(y+2\right)=0,$$
откуда $$y=3$$ или $$y=-2.$$
Тогда
$$\log_7 x=3 \Rightarrow x=343,$$
$$\log_7 x=-2 \Rightarrow x=\frac{1}{49}.$$
г) $$\log_2 x+9\log_x 2=10.$$
Пусть $$y=\log_2 x,$$ тогда $$\log_x 2=\frac{1}{y}.$$
Получаем:
$$y+\frac{9}{y}=10.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-10y+9=0,$$
$$\left(y-1\right)\left(y-9\right)=0,$$
откуда $$y=1$$ или $$y=9.$$
Тогда
$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2,$$
$$\log_2 x=9 \Rightarrow x=512.$$
Ответ
а) $$\frac{1}{9},\ 3$$; б) $$5,\ 25$$; в) $$\frac{1}{49},\ 343$$; г) $$2,\ 512$$.
