Упр.17.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим $$t=\log_2 x.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$\frac{1}{t-3}+\frac{4}{t+1}=\frac{4}{t^2-2t-3}.$$

Так как $$t^2-2t-3=(t-3)(t+1),$$ получаем

$$\frac{1}{t-3}+\frac{4}{t+1}=\frac{4}{(t-3)(t+1)}.$$

Умножим на $$(t-3)(t+1)$$:

$$t+1+4(t-3)=4.$$

$$5t-11=4,$$

$$5t=15,$$

$$t=3.$$

Но $$t=\log_2 x=3 \Rightarrow x=8,$$ а при этом знаменатель справа равен $$3^2-2\cdot 3-3=0,$$ значит, это значение не подходит.

Ответ: корней нет.

б) Обозначим $$t=\log_3 x.$$ Тогда

$$\frac{t}{2t-6}+\frac{9}{9-t^2}=\frac{8}{2t+6}.$$

Разложим знаменатели:

$$2t-6=2(t-3), \quad 9-t^2=(3-t)(3+t), \quad 2t+6=2(t+3).$$

Тогда

$$\frac{t}{2(t-3)}+\frac{9}{(3-t)(3+t)}=\frac{8}{2(t+3)}.$$

Умножим на $$2(t-3)(t+3)(3-t)$$ и упростим:

$$t(3+t)+9\cdot(-2)=8(t-3).$$

$$3t+t^2-18=8t-24,$$

$$t^2-5t+6=0,$$

$$(t-2)(t-3)=0.$$

Отсюда $$t=2$$ или $$t=3.$$

Возвращаемся к замене:

$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9,$$

$$\log_3 x=3 \Rightarrow x=27.$$

Ответ: $$9, 27.$$

в) Обозначим $$y=\lg x.$$ Тогда

$$\frac{1}{5-4y}+\frac{4}{1+y}=3.$$

Умножим на $$(5-4y)(1+y)$$:

$$1+y+4(5-4y)=3(5-4y)(1+y).$$

$$1+y+20-16y=3(5+y-4y-4y^2),$$

$$21-15y=15-9y-12y^2,$$

$$12y^2-6y+6=0,$$

$$2y^2-y+1=0.$$

Дискриминант:

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot 1=1-8=-7<0.$$

Действительных корней нет.

Ответ: корней нет.

г) Обозначим $$y=\lg x.$$ Тогда

$$\frac{-4}{2y-y^2}+\frac{2}{2-y}=\frac{1}{2}.$$

Так как $$2y-y^2=y(2-y),$$ получаем

$$\frac{-4}{y(2-y)}+\frac{2}{2-y}=\frac{1}{2}.$$

Умножим на $$2y(2-y)$$:

$$-8+4y=y(2-y).$$

$$-8+4y=2y-y^2,$$

$$y^2+2y-8=0.$$

$$(y+4)(y-2)=0,$$

откуда $$y=-4$$ или $$y=2.$$

Возвращаемся к замене:

$$\lg x=-4 \Rightarrow x=10^{-4}=0{,}0001,$$

$$\lg x=2 \Rightarrow x=10^2=100.$$

Ответ: $$0{,}0001; 100.$$