Упр.17.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\frac{\log_2(x)+5}{\log_2(x)-1}+1=0$$; б) $$\frac{7\log_3(x)-15}{5\log_3(x)+3}+1=0$$; в) $$\frac{9\log_{0,5}(x)+14}{3-2\log_{0,5}(x)}-1$$; г) $$\frac{-19\lg x+20}{4-5\lg x}-4=0$$

Положим $$t=\log_2 x.$$ Тогда уравнение

$$\frac{\log_2 x+5}{\log_2 x-1}+1=0$$

примет вид

$$\frac{t+5}{t-1}+1=0.$$

Умножим на $$t-1$$:

$$t+5+t-1=0$$

$$2t+4=0$$

$$t=-2.$$

Тогда

$$\log_2 x=-2,$$

$$x=2^{-2}=\frac14=0{,}25.$$

Положим $$t=\log_3 x.$$ Тогда

$$\frac{7\log_3 x-15}{5\log_3 x+3}+1=0$$

переходит в

$$\frac{7t-15}{5t+3}+1=0.$$

Умножим на $$5t+3$$:

$$7t-15+5t+3=0$$

$$12t-12=0$$

$$t=1.$$

Следовательно,

$$\log_3 x=1,$$

$$x=3.$$

Положим $$t=\log_{0{,}5} x.$$ Тогда

$$\frac{9\log_{0{,}5} x+14}{3-2\log_{0{,}5} x}-1=0$$

имеет вид

$$\frac{9t+14}{3-2t}-1=0.$$

Умножим на $$3-2t$$:

$$9t+14-3+2t=0$$

$$11t+11=0$$

$$t=-1.$$

Тогда

$$\log_{0{,}5} x=-1,$$

$$x=(0{,}5)^{-1}=2.$$

Положим $$t=\lg x.$$ Тогда

$$\frac{-19\lg x+20}{4-5\lg x}-4=0$$

переходит в

$$\frac{-19t+20}{4-5t}-4=0.$$

Умножим на $$4-5t$$:

$$-19t+20-4(4-5t)=0$$

$$-19t+20-16+20t=0$$

$$t+4=0$$

$$t=-4.$$

Следовательно,

$$\lg x=-4,$$

$$x=10^{-4}=0{,}0001.$$

Ответ

а) $$0{,}25$$; б) $$3$$; в) $$2$$; г) $$0{,}0001$$.