Упр.17.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\lg 100x \cdot \lg x=-1$$

Так как $$\lg 100x=\lg 100+\lg x=2+\lg x,$$ получаем:

$$(2+\lg x)\lg x=-1$$

$$\lg^2 x+2\lg x+1=0$$

$$(\lg x+1)^2=0$$

$$\lg x=-1$$

$$x=10^{-1}=0{,}1$$

Ответ: $$0{,}1$$.

б) $$\lg^2 10x+\lg 10x=6-3\lg \frac{1}{x}$$

Используем формулы $$\lg 10x=1+\lg x$$ и $$\lg \frac{1}{x}=-\lg x.$$ Тогда:

$$(1+\lg x)^2+(1+\lg x)=6-3(-\lg x)$$

Пусть $$y=\lg x$$. Тогда

$$(1+y)^2+(1+y)=6+3y$$

$$1+2y+y^2+1+y=6+3y$$

$$y^2=4$$

$$y=\pm 2$$

1) $$\lg x=-2,\quad x=10^{-2}=0{,}01$$

2) $$\lg x=2,\quad x=10^2=100$$

Ответ: $$0{,}01;\ 100$$.

в) $$2\lg x^2-\lg^2(-x)=4$$

Так как $$x<0,$$ то $$\lg x^2=2\lg(-x).$$ Обозначим $$t=\lg(-x).$$ Тогда

$$2\cdot 2t-t^2=4$$

$$t^2-4t+4=0$$

$$(t-2)^2=0$$

$$t=2$$

$$\lg(-x)=2,\quad -x=10^2=100,\quad x=-100$$

Ответ: $$-100$$.

г) $$\lg^2 x^3+\lg x^2=40$$

Преобразуем:

$$(3\lg x)^2+2\lg x=40$$

Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда

$$9y^2+2y-40=0$$

$$D=2^2-4\cdot 9\cdot(-40)=4+1440=1444$$

$$y=\frac{-2\pm 38}{18}$$

$$y_1=2,\qquad y_2=-\frac{20}{9}$$

1) $$\lg x=2,\quad x=100$$

2) $$\lg x=-\frac{20}{9},\quad x=10^{-20/9}$$

Ответ: $$10^{-20/9};\ 100$$.