Упр.17.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Положим $$y=\log_5 x.$$ Тогда уравнение

$$2\log_5^2 x+5\log_5 x+2=0$$

примет вид

$$2y^2+5y+2=0.$$

Найдём корни:

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{2\cdot 2}.$$

Тогда

$$y_1=-2,\qquad y_2=-\frac12.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_5 x=-2 \Rightarrow x=5^{-2}=\frac{1}{25},$$

$$\log_5 x=-\frac12 \Rightarrow x=5^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt5}.$$

Ответ: $$\frac{1}{25};\ \frac{1}{\sqrt5}.$$

Положим $$y=\log_4 x.$$ Тогда

$$3\log_4^2 x-7\log_4 x+2=0$$

переходит в уравнение

$$3y^2-7y+2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=7^2-4\cdot 3\cdot 2=49-24=25.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{7\pm 5}{2\cdot 3}.$$

Получаем

$$y_1=\frac13,\qquad y_2=2.$$

Следовательно,

$$\log_4 x=\frac13 \Rightarrow x=4^{1/3}=\sqrt[3]{4},$$

$$\log_4 x=2 \Rightarrow x=4^2=16.$$

Ответ: $$\sqrt[3]{4};\ 16.$$

Положим $$y=\log_{0,3} x.$$ Тогда

$$2\log_{0,3}^2 x-7\log_{0,3} x-4=0$$

переходит в уравнение

$$2y^2-7y-4=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=7^2-4\cdot 2\cdot(-4)=49+32=81.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2\cdot 2}.$$

Получаем

$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=4.$$

Следовательно,

$$\log_{0,3} x=-\frac12 \Rightarrow x=(0,3)^{-1/2}=\frac{\sqrt{30}}{3},$$

$$\log_{0,3} x=4 \Rightarrow x=(0,3)^4=0,0081.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{30}}{3};\ 0,0081.$$

Положим $$y=\log_{0,5} x.$$ Тогда

$$3\log_{0,5}^2 x+5\log_{0,5} x-2=0$$

переходит в уравнение

$$3y^2+5y-2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2\cdot 3}.$$

Получаем

$$y_1=-2,\qquad y_2=\frac13.$$

Следовательно,

$$\log_{0,5} x=-2 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{-2}=4,$$

$$\log_{0,5} x=\frac13 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{1/3}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}.$$

Ответ: $$4;\ \frac{\sqrt[3]{4}}{2}.$$