Упр.17.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$y=\log_2 x,$$ тогда получаем квадратное уравнение:

$$y^2-4y+3=0.$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$

Отсюда $$y_1=1,\quad y_2=3.$$

Тогда

$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2^1=2,$$

$$\log_2 x=3 \Rightarrow x=2^3=8.$$

Ответ: $$2;\ 8.$$

б) Пусть $$y=\log_4 x,$$ тогда

$$y^2-y-2=0.$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=-1,\quad y_2=2.$$

Тогда

$$\log_4 x=-1 \Rightarrow x=4^{-1}=\frac14=0{,}25,$$

$$\log_4 x=2 \Rightarrow x=4^2=16.$$

Ответ: $$0{,}25;\ 16.$$

в) Пусть $$y=\log_{\frac12} x,$$ тогда

$$y^2+3y+2=0.$$

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 1}{2}.$$

Отсюда

$$y_1=-2,\quad y_2=-1.$$

Тогда

$$\log_{\frac12} x=-2 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{-2}=4,$$

$$\log_{\frac12} x=-1 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{-1}=2.$$

Ответ: $$2;\ 4.$$

г) Пусть $$y=\log_{0{,}2} x,$$ тогда

$$y^2+y-6=0.$$

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=-3,\quad y_2=2.$$

Тогда

$$\log_{0{,}2} x=-3 \Rightarrow x=(0{,}2)^{-3}=125,$$

$$\log_{0{,}2} x=2 \Rightarrow x=(0{,}2)^2=0{,}04.$$

Ответ: $$0{,}04;\ 125.$$