Упр.17.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 017.21. Решите уравнение:
   а) $$\log_2(x^3-1)-\log_2(x^2+x+1)=4$$;
   б) $$\log_{0{,}5}(x^6-6x^4+12x^2-8)=-3$$;
   в) $$\log_{0{,}3}(x^3+27)-\log_{0{,}3}(x^2-3x+9)=-1$$;
   г) $$\log_5(x^6+9x^4+27x^2+27)=3$$.

а) $$\log_2(x^3-1)-\log_2(x^2+x+1)=4$$

$$\log_2\frac{x^3-1}{x^2+x+1}=4$$

$$\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2+x+1}=2^4$$

$$x-1=16$$

$$x=17$$

Проверка области определения:

$$x^3-1>0,\quad x^2+x+1>0$$

При $$x=17$$ все условия выполняются.

б) $$\log_{0,5}(x^6-6x^4+12x^2-8)=-3$$

$$x^6-6x^4+12x^2-8=(x^2-2)^3$$

Тогда

$$\log_{0,5}(x^2-2)^3=-3$$

$$\log_{0,5}(x^2-2)^3=\log_{0,5}(0,5)^{-3}=\log_{0,5}2^3$$

$$(x^2-2)^3=8$$

$$x^2-2=2$$

$$x^2=4$$

$$x=\pm 2$$

Проверка ОДЗ: $$x^2-2>0$$, при $$x=\pm2$$ условие выполняется.

в) $$\log_{0,3}(x^3+27)-\log_{0,3}(x^2-3x+9)=-1$$

$$\log_{0,3}\frac{x^3+27}{x^2-3x+9}=-1$$

$$\log_{0,3}\frac{(x+3)(x^2-3x+9)}{x^2-3x+9}=-1$$

$$\log_{0,3}(x+3)=-1$$

$$x+3=(0,3)^{-1}=\frac{10}{3}$$

$$3x+9=10$$

$$x=\frac13$$

Проверка области определения:

$$x^3+27>0,\quad x^2-3x+9>0$$

При $$x=\frac13$$ условия выполняются.

г) $$\log_5(x^6+9x^4+27x^2+27)=3$$

$$x^6+9x^4+27x^2+27=(x^2+3)^3$$

Тогда

$$\log_5(x^2+3)^3=3$$

$$(x^2+3)^3=5^3$$

$$x^2+3=5$$

$$x^2=2$$

$$x=\pm\sqrt2$$

Ответ: а) $$17$$; б) $$\pm2$$; в) $$\frac13$$; г) $$\pm\sqrt2$$.