Упр.17.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\log_{3}(x — 2) + \log_{3}(x + 2) = \log_{3}(2x — 1)$$
б) $$\log_{11}(x + 4) + \log_{11}(x — 7) = \log_{11}(7 — x)$$
в) $$\log_{0,6}(x + 3) + \log_{0,6}(x — 3) = \log_{0,6}(2x — 1)$$
г) $$\log_{0,4}(x + 2) + \log_{0,4}(x + 3) = \log_{0,4}(1 — 2x)$$

а) Объединим логарифмы:

$$\log_3(x-2)+\log_3(x+2)=\log_3\bigl((x-2)(x+2)\bigr)=\log_3(2x-1).$$

Тогда

$$x^2-4=2x-1,$$

$$x^2-2x-3=0,$$

$$D=4+12=16,$$

$$x_1=\frac{2-4}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{2+4}{2}=3.$$

Проверим ОДЗ:

$$x-2>0,\quad x+2>0,\quad 2x-1>0,$$

откуда $$x>2.$$

Подходит только $$x=3.$$

б) Аналогично:

$$\log_{11}(x+4)+\log_{11}(x-7)=\log_{11}\bigl((x+4)(x-7)\bigr)=\log_{11}(7-x).$$

Получаем

$$x^2-3x-28=7-x,$$

$$x^2-2x-35=0,$$

$$D=4+140=144,$$

$$x_1=\frac{2-12}{2}=-5,\qquad x_2=\frac{2+12}{2}=7.$$

ОДЗ:

$$x+4>0,\quad x-7>0,\quad 7-x>0,$$

то есть одновременно $$x>7$$ и $$x<7.$$

Решений нет.

в)

$$\log_{0,6}(x+3)+\log_{0,6}(x-3)=\log_{0,6}(2x-1),$$

$$\log_{0,6}\bigl((x+3)(x-3)\bigr)=\log_{0,6}(2x-1).$$

Следовательно,

$$x^2-9=2x-1,$$

$$x^2-2x-8=0,$$

$$D=4+32=36,$$

$$x_1=\frac{2-6}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{2+6}{2}=4.$$

ОДЗ:

$$x+3>0,\quad x-3>0,\quad 2x-1>0,$$

откуда $$x>3.$$

Подходит только $$x=4.$$

г)

$$\log_{0,4}(x+2)+\log_{0,4}(x+3)=\log_{0,4}(-2x),$$

$$\log_{0,4}\bigl((x+2)(x+3)\bigr)=\log_{0,4}(-2x).$$

Тогда

$$x^2+5x+6=-2x,$$

$$x^2+7x+6=0,$$

$$D=49-24=25,$$

$$x_1=\frac{-7-5}{2}=-6,\qquad x_2=\frac{-7+5}{2}=-1.$$

ОДЗ:

$$x+2>0,\quad x+3>0,\quad -2x>0,$$

то есть $$x>-2$$ и $$x<0.$$

Подходит только $$x=-1.$$

Ответ

а) $$3$$; б) корней нет; в) $$4$$; г) $$-1$$.