Упр.17.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\log_2\bigl((x-3)(x+5)\bigr)+\log_2\left(\frac{x-3}{x+5}\right)=2$$
$$\log_3\bigl((x+3)(x+5)\bigr)+\log_3\left(\frac{x+3}{x+5}\right)=2$$

а) Объединим логарифмы с одинаковым основанием:

$$\log_2((x-3)(x+5))+\log_2\frac{x-3}{x+5}=2$$

$$\log_2\left((x-3)(x+5)\cdot\frac{x-3}{x+5}\right)=2$$

$$\log_2(x-3)^2=2$$

$$\log_2(x-3)^2=\log_2 4$$

$$(x-3)^2=4$$

$$x-3=\pm 2$$

$$x=5 \quad \text{или} \quad x=1$$

Проверим область определения:

$$(x-3)(x+5)>0$$

$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>3$$

Значение $$x=1$$ не подходит, а $$x=5$$ подходит.

б) Аналогично:

$$\log_3((x+3)(x+5))+\log_3\frac{x+3}{x+5}=4$$

$$\log_3\left((x+3)(x+5)\cdot\frac{x+3}{x+5}\right)=4$$

$$\log_3(x+3)^2=4$$

$$\log_3(x+3)^2=\log_3 81$$

$$(x+3)^2=81$$

$$x+3=\pm 9$$

$$x=6 \quad \text{или} \quad x=-12$$

Проверим область определения:

$$(x+3)(x+5)>0$$

$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>-3$$

Значение $$x=-12$$ подходит, а $$x=6$$ тоже подходит.

Ответ

а) $$5$$; б) $$-12,\,6$$.