Упр.17.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_{23}(2x-1)-\log_{23}(x)=0$$; б) $$\log_{0,5}(4x-1)-\log_{0,5}(7x-3)=1$$; в) $$\log_{3,4}(x^2-5x+8)-\log_{3,4}(x)=0$$; г) $$\log_{\frac{1}{2}}(x+9)-\log_{\frac{1}{2}}(8-3x)=2$$.

а) $$\log_{23}(2x-1)-\log_{23}x=0$$

$$\log_{23}(2x-1)=\log_{23}x$$

$$2x-1=x$$

$$x=1$$

Проверка области определения: $$2x-1>0,\; x>0$$, при $$x=1$$ условия выполняются.

б) $$\log_{0,5}(4x-1)-\log_{0,5}(7x-3)=1$$

$$\log_{0,5}\frac{4x-1}{7x-3}=1$$

$$\frac{4x-1}{7x-3}=0,5=\frac12$$

$$2(4x-1)=7x-3$$

$$8x-2=7x-3$$

$$x=-1$$

Но область определения:

$$4x-1>0,\quad 7x-3>0$$

$$x>\frac14,\quad x>\frac37$$

Следовательно, $$x=-1$$ не подходит. Корней нет.

в) $$\log_{3,4}(x^2-5x+8)-\log_{3,4}x=0$$

$$\log_{3,4}(x^2-5x+8)=\log_{3,4}x$$

$$x^2-5x+8=x$$

$$x^2-6x+8=0$$

$$D=36-32=4$$

$$x_{1,2}=\frac{6\pm2}{2}$$

$$x_1=2,\quad x_2=4$$

Область определения: $$x>0$$, оба корня подходят.

г) $$\log_{\frac12}(x+9)-\log_{\frac12}(8-3x)=2$$

$$\log_{\frac12}\frac{x+9}{8-3x}=2$$

$$\frac{x+9}{8-3x}=\left(\frac12\right)^2=\frac14$$

$$4(x+9)=8-3x$$

$$4x+36=8-3x$$

$$7x=-28$$

$$x=-4$$

Проверка области определения: $$x+9>0,\; 8-3x>0$$, при $$x=-4$$ условия выполняются.

Ответ

а) $$1$$; б) корней нет; в) $$2,\,4$$; г) $$-4$$.