Упр.17.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_x(2x^2+x-2)=3$$; б) $$\log_{x-1}(12x-x^2-19)=3$$.

а) Рассмотрим уравнение:

$$\log_x(2x^2+x-2)=3.$$

По определению логарифма получаем:

$$2x^2+x-2=x^3.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^3-2x^2-x+2=0.$$

Разложим на множители:

$$x^3-2x^2-x+2=(x^2-1)(x-2)=(x-1)(x+1)(x-2).$$

Тогда

$$x=-1,\; x=1,\; x=2.$$

Но для логарифма основание должно удовлетворять условиям:

$$x>0,\quad x\ne 1.$$

Из найденных корней подходит только $$x=2.$$

Ответ: $$2.$$

б) Рассмотрим уравнение:

$$\log_{x-1}(12x-x^2-19)=3.$$

По определению логарифма:

$$12x-x^2-19=(x-1)^3.$$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

$$12x-x^2-19=x^3-3x^2+3x-1,$$

$$x^3-2x^2-9x+18=0.$$

Разложим на множители:

$$x^3-2x^2-9x+18=(x-2)(x^2-9)=(x-2)(x-3)(x+3).$$

Отсюда

$$x=2,\; x=3,\; x=-3.$$

Проверим область определения:

$$x-1>0,\quad x-1\ne 1,$$

то есть

$$x>1,\quad x\ne 2.$$

Из найденных корней подходит только $$x=3.$$

Ответ: $$3.$$