Упр.17.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. D17.13. Решите уравнение:
   а) $$\log_x(x+3)=\log_x(2x+9)$$;
   б) $$\log_x(x^2-2x)=\log_x(3x-4)$$;
   в) $$\log_x(x-1)=\log_x(2x-8)$$;
   г) $$\log_x(x^2-6)=\log_x(-x)$$.

а) Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны их аргументы:

$$x+3=2x+9$$

$$x=-6$$

Проверим область определения:

$$x>0,\quad x\neq 1,\quad x+3>0,\quad 2x+9>0$$

Отсюда $$x>0$$, значит $$x=-6$$ не подходит.

Ответ: корней нет.

б)

$$x^2-2x=3x-4$$

$$x^2-5x+4=0$$

$$D=25-16=9$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$

$$x_1=1,\quad x_2=4$$

Проверим область определения:

$$x>0,\quad x\neq 1,\quad x^2-2x>0,\quad 3x-4>0$$

Из условий получаем $$x>\frac{4}{3}$$. Тогда подходит только $$x=4$$.

Ответ: $$4$$.

в)

$$x-1=2x-8$$

$$x=7$$

Проверим область определения:

$$x>0,\quad x\neq 1,\quad x-1>0,\quad 2x-8>0$$

Отсюда $$x>4$$, значит $$x=7$$ подходит.

Ответ: $$7$$.

г)

$$x^2-6=-x$$

$$x^2+x-6=0$$

$$D=1+24=25$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}$$

$$x_1=-3,\quad x_2=2$$

Проверим область определения:

$$x>0,\quad x\neq 1,\quad x^2-6>0,\quad -x>0$$

Из условия $$-x>0$$ получаем $$x<0$$, что противоречит $$x>0$$. Следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.