Упр.17.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\log_{2}(2x^3-x^2-2x)=\log_{2}(x^3+2x^2+2x)$$;
   б) $$\log_{3}(3x^3-2x^2+4x)=\log_{3}(2x^3+2x^2+3x-6)$$;
   в) $$\log_{0,2}(x^3+5x^2+6x+1)=\log_{0,2}(-x^3+2x^2+3x)$$;
   г) $$\log_{0,4}(2x^3+x^2-5x-7)=\log_{0,4}(x^3-2x^2-2x+7)$$.

а) Так как основания логарифмов одинаковые и больше нуля, приравниваем подлогарифмические выражения:

$$2x^3-x^2-2x=x^3+2x^2+2x$$

$$x^3-3x^2-4x=0$$

$$x(x^2-3x-4)=0$$

$$x(x-4)(x+1)=0$$

Отсюда $$x=0,\,-1,\,4$$.

Проверим область определения:

$$x^3+2x^2+2x=x(x^2+2x+2)>0$$

Так как $$x^2+2x+2>0$$ при всех $$x$$, то нужно $$x>0$$. Подходит только $$x=4$$.

Ответ: $$4$$.

б)

$$3x^3-2x^2+4x=2x^3+2x^2+3x-6$$

$$x^3-4x^2+x+6=0$$

$$x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x^2-2x-3)=0$$

$$x=2,\,-1,\,3$$

Проверим ОДЗ:

$$3x^3-2x^2+4x=x(3x^2-2x+4)>0$$

Так как $$3x^2-2x+4>0$$ при всех $$x$$, то нужно $$x>0$$. Значит, подходят $$x=2$$ и $$x=3$$.

Ответ: $$2; 3$$.

в)

$$x^3+5x^2+6x+1=-x^3+2x^2+3x$$

$$2x^3+3x^2+3x+1=0$$

Сделаем замену $$y=\frac1x$$:

$$2+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}=0$$

$$2+3y+3y^2+y^3=0$$

$$y^3+3y^2+3y+2=0$$

$$(y+2)(y^2+y+1)=0$$

Отсюда $$y=-2$$, значит

$$\frac1x=-2,\quad x=-\frac12$$.

Проверим ОДЗ:

$$-x^3+2x^2+3x=x(-x^2+2x+3)>0$$

$$-x(x-3)(x+1)>0$$

Отсюда $$-1<x<0$$ или $$x>3$$. Число $$x=-\frac12$$ подходит.

Ответ: $$-\frac12$$.

г)

$$2x^3+x^2-5x-7=x^3-2x^2-2x+7$$

$$x^3+3x^2-3x-14=0$$

$$x=2$$ — корень, тогда

$$x^3+3x^2-3x-14=(x-2)(x^2+5x+7)=0$$

У квадратного уравнения

$$D=25-28=-3<0$$

действительных корней нет, значит

$$x=2$$.

Проверка:

$$2\cdot 2^3+2^2-5\cdot 2-7=16+4-10-7=3$$

$$2^3-2\cdot 2^2-2\cdot 2+7=8-8-4+7=3$$

Ответ: $$2$$.