Упр.17.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) Известно, что $$f(x)=\log_3(5x-2)$$. Решите уравнение $$f(x)=f(3x-1)$$.
б) Известно, что $$f(x)=\log_2(8x-1)$$. Решите уравнение $$f(x)=f\left(\frac{x}{2}+5\right)$$.
в) Известно, что $$f(x)=\log_{0,2}(3x-6)$$. Решите уравнение $$f\left(\frac{1}{3}x-1\right)=f(x^2-1)$$.
г) Известно, что $$f(x)=\log_{1,4}(4x+1)$$. Решите уравнение $$f\left(\frac{1}{4}x-3\right)=f(x^2-3)$$.

Подробный ответ

а) Так как функция $$f(x)=\log_3(5x-2)$$ строго возрастает, то из равенства $$f(x)=f(3x-1)$$ следует:

$$5x-2=5(3x-1)-2.$$

Решим уравнение:

$$5x-2=15x-5-2$$

$$5x-2=15x-7$$

$$10x=5$$

$$x=\frac12.$$

Проверим область определения:

$$5x-2>0,\quad 5(3x-1)-2>0.$$

При $$x=\frac12$$ оба аргумента логарифмов положительны, значит, корень подходит.

б) Функция $$f(x)=\log_2(8x-1)$$ строго возрастает, поэтому

$$f(x)=f\!\left(\frac{x}{2}+5\right)\Rightarrow 8x-1=8\left(\frac{x}{2}+5\right)-1.$$

Получаем:

$$8x-1=4x+40-1$$

$$8x-1=4x+39$$

$$4x=40$$

$$x=10.$$

Проверка области определения:

$$8x-1>0,\quad 8\left(\frac{x}{2}+5\right)-1>0.$$

При $$x=10$$ ограничения выполняются.

в) Функция $$f(x)=\log_{0,2}(3x-6)$$ определена при $$3x-6>0$$ и строго убывает, но при равенстве значений логарифмов с одинаковым основанием достаточно приравнять аргументы:

$$f\!\left(\frac13x-1\right)=f(x^2-1)\Rightarrow 3\left(\frac13x-1\right)-6=3(x^2-1)-6.$$

Упростим:

$$x-3=3x^2-9$$

$$3x^2-x-6=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-6)=73,$$

$$x=\frac{1\pm\sqrt{73}}{6}.$$

Проверим область определения:

$$\frac13x-1-2>0,\quad x^2-1-2>0.$$

То есть

$$x>9,\quad x^2>3.$$

Ни один из найденных корней этим условиям не удовлетворяет, значит, решений нет.