Упр.16.66 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите координаты центра симметрии графика функции $$y=x+\lg\frac{x^2+2x}{x^2+10x+24}$$.

Найдём область определения функции:

$$\frac{x^2+2x}{x^2+10x+24}>0.$$

Разложим на множители:

$$\frac{x(x+2)}{(x+6)(x+4)}>0.$$

Критические точки: $$x=-6,\,-4,\,-2,\,0.$$

Знак дроби положителен на промежутках

$$(-\infty;-6)\cup(-4;-2)\cup(0;+\infty).$$

Область определения симметрична относительно прямой $$x=-3,$$ значит, если график имеет центр симметрии, то его абсцисса равна

$$x_0=-3.$$

Найдём ординату этой точки:

$$y_0=f(-3)=-3+\lg\frac{(-3)^2+2\cdot(-3)}{(-3)^2+10\cdot(-3)+24}=-3+\lg\frac{3}{3}=-3+\lg 1=-3.$$

Проверим симметрию:

$$f(-3-t)+f(-3+t)=2f(-3).$$

Действительно,

$$\begin{aligned} f(-3-t)+f(-3+t) &=(-3-t)+\lg\frac{(-3-t)^2+2(-3-t)}{(-3-t)^2+10(-3-t)+24}\\ &\quad+(-3+t)+\lg\frac{(-3+t)^2+2(-3+t)}{(-3+t)^2+10(-3+t)+24}\\ &=-6+\lg\frac{t^2+4t+3}{t^2-4t+3}+\lg\frac{t^2-4t+3}{t^2+4t+3}\\ &=-6. \end{aligned}$$

Так как $$2f(-3)=2\cdot(-3)=-6,$$ то условие выполнено.

Ответ: $$(-3;\,-3).$$