Упр.16.65 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\log_{bk}(ak)=\frac{\log_b(a)+\log_b(k)}{1+\log_b(k)}$$;
   б) $$\frac{1}{\log_a(k)}+\log_{a^2}(k)+\frac{1}{\log_{a^3}(k)}+\log_{a^4}(k)+\log_{a^5}(k)=15\log_k(a)$$.

Пусть $$x=\log_b k.$$ Тогда по формуле перехода к новому основанию

$$\log_{bk}(ak)=\frac{\log_b(ak)}{\log_b(bk)}.$$

Раскроем логарифмы:

$$\log_b(ak)=\log_b a+\log_b k,$$

$$\log_b(bk)=\log_b b+\log_b k=1+\log_b k.$$

Следовательно,

$$\log_{bk}(ak)=\frac{\log_b a+\log_b k}{1+\log_b k}.$$

Это и требовалось доказать.

Для второго тождества используем свойство:

$$\log_{a^n}k=\frac{1}{n}\log_a k,$$

откуда

$$\frac{1}{\log_a k}+\frac{1}{\log_{a^2}k}+\frac{1}{\log_{a^3}k}+\frac{1}{\log_{a^4}k}+\frac{1}{\log_{a^5}k}$$

$$=\frac{1}{\log_a k}+\frac{2}{\log_a k}+\frac{3}{\log_a k}+\frac{4}{\log_a k}+\frac{5}{\log_a k}$$

$$=\frac{1+2+3+4+5}{\log_a k}=\frac{15}{\log_a k}=15\log_k a.$$

Итак, тождество доказано.