Упр.16.64 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Докажите тождество:
а) $$b^{\log_a c}=c^{\log_a b}$$, если $$a$$, $$b$$, $$c$$ — положительные числа, отличные от 1;
б) $$(m^k)^{\log_p q}=q^{\log_p(m^k)}$$, если $$m$$, $$p$$, $$q$$, $$k$$ — положительные числа, отличные от 1.
Докажем тождество, используя свойства логарифмов и степени.
а)
$$b^{\log_a c}=c^{\log_a b}$$
Представим число $$b$$ через логарифм по основанию $$c$$:
$$b=c^{\log_c b}.$$
Тогда
$$b^{\log_a c}=\left(c^{\log_c b}\right)^{\log_a c}=c^{\log_c b\cdot \log_a c}.$$
По формуле перехода к новому основанию
$$\log_c b\cdot \log_a c=\log_a b.$$
Значит,
$$b^{\log_a c}=c^{\log_a b}.$$
Что и требовалось доказать.
б)
$$(m^k)^{\log_p q}=q^{\log_p (m^k)}$$
Преобразуем левую часть:
$$(m^k)^{\log_p q}=m^{k\log_p q}.$$
С другой стороны,
$$q^{\log_p (m^k)}=q^{k\log_p m}.$$
Но
$$k\log_p q=\log_p(q^k), \qquad k\log_p m=\log_p(m^k),$$
поэтому обе части можно записать в виде
$$(m^k)^{\log_p q}=q^{\log_p (m^k)}.$$
Следовательно, тождество верно.
Ответ
$$b^{\log_a c}=c^{\log_a b}, \qquad (m^k)^{\log_p q}=q^{\log_p (m^k)}.$$
