Упр.16.63 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

$$0{,}2\cdot\left(2a^{\log_2 b}+3b^{\log_2 a}\right)$$

Используем свойства степеней и логарифмов:

$$a^{\log_2 b}=b^{\log_2 a},$$

поэтому

$$0{,}2\cdot\left(2a^{\log_2 b}+3b^{\log_2 a}\right)=0{,}2\cdot\left(2b^{\log_2 a}+3b^{\log_2 a}\right)=0{,}2\cdot5b^{\log_2 a}=b^{\log_2 a}.$$

Далее

$$b^{\log_2 a}=a^{\log_2 b}.$$

Следовательно,

$$0{,}2\cdot\left(2a^{\log_2 b}+3b^{\log_2 a}\right)=a^{\log_2 b}.$$

$$\sqrt{\log_a b+\log_b a+2}\cdot \log_{ab} a\cdot \sqrt{\log_a^3 b}$$

Положим $$x=\log_a b.$$ Тогда $$\log_b a=\dfrac{1}{x}$$ и $$\log_{ab} a=\dfrac{1}{1+\log_a b}=\dfrac{1}{1+x}.$$

Тогда выражение равно

$$\sqrt{x+\frac{1}{x}+2}\cdot \frac{1}{1+x}\cdot \sqrt{x^3}.$$

Преобразуем корень:

$$x+\frac{1}{x}+2=\frac{x^2+2x+1}{x}=\frac{(x+1)^2}{x},$$

значит

$$\sqrt{x+\frac{1}{x}+2}=\frac{x+1}{\sqrt{x}}.$$

Тогда

$$\frac{x+1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{1+x}\cdot \sqrt{x^3}=\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \sqrt{x^3}=x.$$

Возвращаясь к обозначению, получаем

$$x=\log_a b.$$

Ответ: а) $$a^{\log_2 b}$$; б) $$\log_a b$$.