Упр.16.62 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(\log_a b+\log_b a+2\right)\left(\log_a b-\log_{ab} b\right)\log_b a-1$$

Используем формулы перехода к новому основанию:

$$\log_b a=\frac{1}{\log_a b}, \qquad \log_{ab} b=\frac{\log_a b}{\log_a a+\log_a b}=\frac{\log_a b}{1+\log_a b}.$$

Тогда

$$\left(\log_a b+\frac{1}{\log_a b}+2\right)\left(\log_a b-\frac{\log_a b}{1+\log_a b}\right)\cdot \frac{1}{\log_a b}-1.$$

Преобразуем скобки:

$$\log_a b+\frac{1}{\log_a b}+2=\frac{(\log_a b+1)^2}{\log_a b},$$

$$\log_a b-\frac{\log_a b}{1+\log_a b}=\frac{(\log_a b)^2}{1+\log_a b}.$$

Тогда

$$\frac{(\log_a b+1)^2}{\log_a b}\cdot \frac{(\log_a b)^2}{1+\log_a b}\cdot \frac{1}{\log_a b}-1$$

$$=(1+\log_a b)-1=\log_a b.$$

б) $$\frac{1-\log_a^3 b}{\left(\log_a b+\log_b a+1\right)\log_a \frac{a}{b}}$$

Положим $$x=\log_a b.$$ Тогда $$\log_b a=\frac{1}{x}, \qquad \log_a \frac{a}{b}=1-\log_a b=1-x.$$

Получаем:

$$\frac{1-x^3}{\left(x+\frac{1}{x}+1\right)(1-x)}.$$

Разложим числитель:

$$1-x^3=(1-x)(1+x+x^2).$$

Тогда

$$\frac{(1-x)(1+x+x^2)}{\left(x+\frac{1}{x}+1\right)(1-x)}=\frac{1+x+x^2}{x+\frac{1}{x}+1}.$$

Приведём знаменатель к общему виду:

$$x+\frac{1}{x}+1=\frac{x^2+x+1}{x}.$$

Следовательно,

$$\frac{1+x+x^2}{\frac{x^2+x+1}{x}}=x=\log_a b.$$

Ответ: а) $$\log_a b$$; б) $$\log_a b$$.