Упр.16.61 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите $$\log_2(360)$$, если известно, что $$\log_3(20)=a$$, $$\log_3(15)=b$$.
   б) Найдите $$\log_{275}(60)$$, если известно, что $$\log_{12}(5)=a$$, $$\log_{12}(11)=b$$.

а) Из условия $$\log_3 20=a,\qquad \log_3 15=b.$$

Найдём $$\log_3 2$$ и $$\log_3 5$$:

$$\log_3 15=\log_3(3\cdot 5)=\log_3 3+\log_3 5=1+\log_3 5,$$
откуда
$$\log_3 5=b-1.$$

Далее:

$$\log_3 20=\log_3(4\cdot 5)=\log_3 4+\log_3 5=2\log_3 2+\log_3 5.$$

Тогда

$$a=2\log_3 2+b-1,$$
значит
$$\log_3 2=\frac{a-b+1}{2}.$$

Теперь вычислим:

$$\log_2 360=\frac{\log_3 360}{\log_3 2} =\frac{\log_3(2^3\cdot 3^2\cdot 5)}{\log_3 2} =\frac{3\log_3 2+2+\log_3 5}{\log_3 2}.$$

Подставим найденные значения:

$$\log_2 360=\frac{3\cdot \frac{a-b+1}{2}+2+(b-1)}{\frac{a-b+1}{2}} =\frac{3a-b+5}{a-b+1}.$$

б) Из условия $$\log_{12} 5=a,\qquad \log_{12} 11=b.$$

Найдём $$\log_{12} 60$$:

$$\log_{12} 60=\log_{12}(12\cdot 5)=\log_{12} 12+\log_{12} 5=1+a.$$

Теперь вычислим:

$$\log_{275} 60=\frac{\log_{12} 60}{\log_{12} 275} =\frac{\log_{12} 60}{\log_{12}(25\cdot 11)} =\frac{\log_{12} 60}{\log_{12} 25+\log_{12} 11}.$$

Так как $$\log_{12} 25=\log_{12}(5^2)=2\log_{12} 5=2a,$$ то

$$\log_{275} 60=\frac{a+1}{2a+b}.$$

Ответ

а) $$\frac{3a-b+5}{a-b+1}$$; б) $$\frac{a+1}{2a+b}$$.