Упр.16.60 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Найдите $$\log_3 5$$, если известно, что $$\log_6 2=a$$, $$\log_6 5=b$$.

б) Найдите $$\log_{35} 28$$, если известно, что $$\log_{14} 7=a$$, $$\log_{14} 5=b$$.

а) Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_3 5=\frac{\log_6 5}{\log_6 3}.$$

Так как $$3=\frac{6}{2},$$ то

$$\log_6 3=\log_6\frac{6}{2}=\log_6 6-\log_6 2=1-a.$$

Тогда

$$\log_3 5=\frac{b}{1-a}.$$

Ответ: $$\frac{b}{1-a}$$

б) Аналогично:

$$\log_{35} 28=\frac{\log_{14} 28}{\log_{14} 35}.$$

Найдём числитель и знаменатель:

$$\log_{14} 28=\log_{14}(14\cdot 2)=\log_{14} 14+\log_{14} 2=1+\log_{14} 2,$$

а

$$\log_{14} 2=\log_{14}\frac{14}{7}=\log_{14} 14-\log_{14} 7=1-a.$$

Значит,

$$\log_{14} 28=1+(1-a)=2-a.$$

Знаменатель:

$$\log_{14} 35=\log_{14}(7\cdot 5)=\log_{14} 7+\log_{14} 5=a+b.$$

Следовательно,

$$\log_{35} 28=\frac{2-a}{a+b}.$$

Ответ: $$\frac{2-a}{a+b}$$