Упр.16.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{3\lg 2-\lg 24}{\lg 3+\lg 27}$$; б) $$\frac{\log_3 2+3\log_3 0{,}25}{\log_3 28-\log_3 7}$$

а) $$\frac{3\lg 2-\lg 24}{\lg 3+\lg 27}=\frac{\lg 2^3-\lg 24}{\lg 3+\lg 3^3}=\frac{\lg \frac{8}{24}}{\lg(3\cdot 27)}=\frac{\lg \frac13}{\lg 81}.$$

Так как $$\lg \frac13=\lg 3^{-1}=-\lg 3,\qquad \lg 81=\lg 3^4=4\lg 3,$$ то

$$\frac{\lg \frac13}{\lg 81}=\frac{-\lg 3}{4\lg 3}=-\frac14=-0{,}25.$$

б) $$\frac{\log_3 2+3\log_3 0{,}25}{\log_3 28-\log_3 7}=\frac{\log_3 2+\log_3 (0{,}25)^3}{\log_3 \frac{28}{7}}.$$

Так как $$0{,}25=\frac14,\qquad \left(\frac14\right)^3=\frac1{64},$$ получаем

$$\frac{\log_3 2+\log_3 \frac1{64}}{\log_3 4}=\frac{\log_3 \left(2\cdot \frac1{64}\right)}{\log_3 4}=\frac{\log_3 \frac1{32}}{\log_3 4}.$$

Далее

$$\frac{\log_3 \frac1{32}}{\log_3 4}=\frac{\log_3 2^{-5}}{\log_3 2^2}=\frac{-5\log_3 2}{2\log_3 2}=-\frac52=-2{,}5.$$

Ответ: а) $$-0{,}25$$; б) $$-2{,}5$$.