Упр.16.59 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите $$\log_{100}(40)$$, если известно, что $$\log_{2}(5)=a$$. б) Найдите $$\log_{63}(147)$$, если известно, что $$\log_{3}(7)=b$$.

а) Пусть $$\log_2 5=a.$$ Тогда

$$\log_{100}40=\frac{\log_2 40}{\log_2 100} =\frac{\log_2(5\cdot 8)}{\log_2(4\cdot 25)} =\frac{\log_2 5+\log_2 8}{\log_2 4+\log_2 25}.$$

Так как $$\log_2 8=3,$$ $$\log_2 4=2,$$ $$\log_2 25=2\log_2 5=2a,$$ получаем

$$\log_{100}40=\frac{a+3}{2+2a}.$$

б) Пусть $$\log_3 7=b.$$ Тогда

$$\log_{63}147=\frac{\log_3 147}{\log_3 63} =\frac{\log_3(3\cdot 49)}{\log_3(9\cdot 7)} =\frac{\log_3 3+\log_3 49}{\log_3 9+\log_3 7}.$$

Так как $$\log_3 3=1,$$ $$\log_3 49=\log_3 7^2=2\log_3 7=2b,$$ $$\log_3 9=2,$$ то

$$\log_{63}147=\frac{1+2b}{2+b}.$$

Ответ: а) $$\frac{a+3}{2a+2}$$; б) $$\frac{1+2b}{b+2}$$.