Упр.16.58 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Известно, что $$\log_2 5=a$$, $$\log_2 3=b$$. Найдите: а) $$\log_3 15$$; б) $$\log_8 75$$; в) $$\log_{16} 45$$; г) $$\log_{15} 12$$.

Пусть $$\log_2 5=a,\qquad \log_2 3=b.$$ Тогда используем формулу перехода к новому основанию и свойства логарифмов.

1. $$\log_3 15=\frac{\log_2 15}{\log_2 3}=\frac{\log_2(3\cdot 5)}{\log_2 3}=\frac{\log_2 3+\log_2 5}{\log_2 3}=\frac{b+a}{b}.$$

2. $$\log_8 75=\frac{\log_2 75}{\log_2 8}=\frac{\log_2(3\cdot 25)}{3}=\frac{\log_2 3+\log_2 5^2}{3}=\frac{b+2a}{3}.$$

3. $$\log_{16} 45=\frac{\log_2 45}{\log_2 16}=\frac{\log_2(5\cdot 9)}{4}=\frac{\log_2 5+\log_2 3^2}{4}=\frac{a+2b}{4}.$$

4. $$\log_{15} 12=\frac{\log_2 12}{\log_2 15}=\frac{\log_2(3\cdot 4)}{\log_2(3\cdot 5)}=\frac{\log_2 3+\log_2 2^2}{\log_2 3+\log_2 5}=\frac{b+2}{a+b}.$$

Ответ: $$\frac{a+b}{b},\ \frac{2a+b}{3},\ \frac{a+2b}{4},\ \frac{b+2}{a+b}.$$