Упр.16.57 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Известно, что $$\lg 2=a$$, $$\lg 3=b$$. Найдите: а) $$\log_4(12)$$; б) $$\log_6(18)$$; в) $$\log_{0{,}5}(3)$$; г) $$\log_{\frac{1}{3}}(24)$$.

Пусть $$\lg 2=a,\qquad \lg 3=b.$$ Тогда:

1. $$\log_{4}12=\frac{\lg 12}{\lg 4}=\frac{\lg(4\cdot 3)}{\lg 4}=\frac{\lg 4+\lg 3}{\lg 4}=1+\frac{\lg 3}{\lg 4}.$$

   Так как $$\lg 4=\lg 2^2=2\lg 2=2a,$$ то

   $$\log_{4}12=1+\frac{b}{2a}.$$

2. $$\log_{6}18=\frac{\lg 18}{\lg 6}=\frac{\lg(6\cdot 3)}{\lg 6}=\frac{\lg 6+\lg 3}{\lg 6}=1+\frac{\lg 3}{\lg 6}.$$

   Причём

   $$\lg 6=\lg(2\cdot 3)=\lg 2+\lg 3=a+b.$$

   Тогда

   $$\log_{6}18=1+\frac{b}{a+b}=\frac{a+2b}{a+b}.$$

3. $$\log_{0,5}3=\frac{\lg 3}{\lg 0,5}=\frac{\lg 3}{\lg 2^{-1}}=\frac{b}{-\lg 2}=-\frac{b}{a}.$$

4. $$\log_{\frac13}24=\frac{\lg 24}{\lg \frac13}.$$

   Найдём числитель и знаменатель:

   $$\lg 24=\lg(8\cdot 3)=\lg 8+\lg 3=3\lg 2+\lg 3=3a+b,$$

   $$\lg \frac13=\lg 3^{-1}=-\lg 3=-b.$$

   Следовательно,

   $$\log_{\frac13}24=\frac{3a+b}{-b}=-\frac{3a+b}{b}.$$

Ответ: $$1+\frac{b}{2a};\ \frac{a+2b}{a+b};\ -\frac{b}{a};\ -\frac{3a+b}{b}.$$