Упр.16.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\log_2 6$$ и $$\log_4 5$$;
б) $$\log_9 6$$ и $$\log_3 7$$;
в) $$\log_{\frac{1}{2}} 3$$ и $$\log_{\frac{1}{4}} 1{,}5$$;
г) $$\log_{\frac{1}{3}} 4$$ и $$\log_{\frac{1}{9}} 7$$.
Сравним числа, используя свойства логарифмов.
- $$\log_2 6 \text{ и } \log_4 5$$
Так как $$\log_2 6 > \log_2 4 = 2,$$ а $$\log_4 5 < \log_4 16 = 2,$$ то
$$\log_2 6 > \log_4 5.$$
- $$\log_{\frac12} 3 \text{ и } \log_{\frac14} 1{,}5$$
Имеем
$$\log_{\frac12} 3 < \log_{\frac12} 2 = -1,$$
$$\log_{\frac14} 1{,}5 > \log_{\frac14} 4 = -1.$$
Следовательно,
$$\log_{\frac12} 3 < \log_{\frac14} 1{,}5.$$
- $$\log_9 6 \text{ и } \log_3 7$$
Преобразуем:
$$\log_9 6=\frac12\log_3 6,$$
поэтому достаточно сравнить $$\log_3 6$$ и $$2\log_3 7.$$
Так как $$6<7^2=49,$$ то
$$\log_3 6 < \log_3 49 = 2\log_3 7,$$
значит
$$\log_9 6 < \log_3 7.$$
- $$\log_{\frac13} 4 \text{ и } \log_{\frac19} 7$$
Имеем
$$\log_{\frac13} 4=\frac12\log_{\frac19} 4.$$
Сравним числа $$4$$ и $$\sqrt7$$: $$4>\sqrt7.$$ Тогда при основании $$\frac19<1$$ получаем
$$\log_{\frac13} 4 < \log_{\frac19} 7.$$
Ответ
$$\log_2 6 > \log_4 5,$$
$$\log_{\frac12} 3 < \log_{\frac14} 1{,}5,$$
$$\log_9 6 < \log_3 7,$$
$$\log_{\frac13} 4 < \log_{\frac19} 7.$$
