Упр.16.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\left(\log_4 6+\log_6 4+2\right)\left(\log_4 6-\log_{24} 6\right)\cdot\log_6 4-\log_4 96$$
2. б) $$\log_5 4+\log_6 9+\log_4 6\cdot\log_{\sqrt{6}} 2-\log_5 2\cdot\log_2 5$$

а) Обозначим $$x=\log_4 6.$$ Тогда

$$\log_6 4=\frac{1}{x}, \qquad \log_{24}6=\frac{\log_4 6}{\log_4 24}=\frac{x}{x+\log_4 6?}$$

Удобнее сразу использовать тождество

$$\log_{24}6=\frac{\log_4 6}{\log_4 24}=\frac{x}{\log_4(4\cdot 6)}=\frac{x}{1+x}.$$

Тогда выражение равно

$$\left(x+\frac{1}{x}+2\right)\left(x-\frac{x}{1+x}\right)\cdot \frac{1}{x}-\log_4 96.$$

Преобразуем:

$$x-\frac{x}{1+x}=\frac{x(1+x)-x}{1+x}=\frac{x^2}{1+x},$$

поэтому

$$\left(x+\frac{1}{x}+2\right)\cdot \frac{x^2}{1+x}\cdot \frac{1}{x}-\log_4 96 =\left(x+\frac{1}{x}+2\right)\cdot \frac{x}{1+x}-\log_4 96.$$

Далее

$$x+\frac{1}{x}+2=\frac{x^2+2x+1}{x}=\frac{(x+1)^2}{x},$$

значит

$$\frac{(x+1)^2}{x}\cdot \frac{x}{1+x}-\log_4 96=x+1-\log_4 96.$$

Так как $$96=6\cdot 16,$$ то

$$\log_4 96=\log_4 6+\log_4 16=x+2.$$

Следовательно,

$$x+1-(x+2)=-1.$$

б) Используем свойства логарифмов:

$$\log_5 4+\log_6 9+\log_4 6\cdot \log_{\sqrt6}2-\log_5 2\cdot \log_2 5.$$

Первое слагаемое:

$$\log_5 4+\log_6 9=\log_6(4\cdot 9)=\log_6 36=2.$$

Второе слагаемое:

$$\log_4 6\cdot \log_{\sqrt6}2=\log_4 6\cdot \frac{\log_6 2}{\log_6 \sqrt6}.$$

Так как $$\log_6 \sqrt6=\log_6 6^{1/2}=\frac12,$$ то

$$\log_4 6\cdot \log_{\sqrt6}2=\log_4 6\cdot 2\log_6 2.$$

Переходя к основанию 2, получаем

$$\log_4 6=\frac{\log_2 6}{\log_2 4}=\frac12\log_2 6,$$

поэтому

$$\log_4 6\cdot \log_{\sqrt6}2=\frac12\log_2 6\cdot 2\log_6 2=\log_2 6\cdot \log_6 2=1.$$

Третье слагаемое:

$$\log_5 2\cdot \log_2 5=1.$$

Итак,

$$2+1-1=2.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$2$$.