Упр.16.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\frac{\log_2 56}{\log_{28} 2}-\frac{\log_2 7}{\log_{224} 2}$$; б) $$\frac{\log_3 135}{\log_{45} 3}-\frac{\log_3 5}{\log_{121593} 3}$$.

а) $$\frac{\log_2 56}{\log_{28} 2}-\frac{\log_2 7}{\log_{224} 2}$$

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\frac{\log_2 56}{\log_{28} 2}=\log_2 56\cdot \log_2 28,\qquad \frac{\log_2 7}{\log_{224} 2}=\log_2 7\cdot \log_2 224.$$

Тогда

$$\log_2 56\cdot \log_2 28-\log_2 7\cdot \log_2 224.$$

Положим $$\log_2 7=a.$$ Тогда

$$\log_2 56=\log_2(7\cdot 8)=a+3,$$

$$\log_2 28=\log_2(7\cdot 4)=a+2,$$

$$\log_2 224=\log_2(7\cdot 32)=a+5.$$

Подставим:

$$(a+3)(a+2)-a(a+5)=a^2+5a+6-a^2-5a=6.$$

б) $$\frac{\log_3 135}{\log_{45} 3}-\frac{\log_3 5}{\log_{1215} 3}$$

Аналогично:

$$\frac{\log_3 135}{\log_{45} 3}=\log_3 135\cdot \log_3 45,\qquad \frac{\log_3 5}{\log_{1215} 3}=\log_3 5\cdot \log_3 1215.$$

Тогда

$$\log_3 135\cdot \log_3 45-\log_3 5\cdot \log_3 1215.$$

Положим $$\log_3 5=b.$$ Тогда

$$\log_3 135=\log_3(5\cdot 27)=b+3,$$

$$\log_3 45=\log_3(5\cdot 9)=b+2,$$

$$\log_3 1215=\log_3(5\cdot 243)=b+5.$$

Подставим:

$$(b+3)(b+2)-b(b+5)=b^2+5b+6-b^2-5b=6.$$

Ответ

а) $$6$$; б) $$6$$.