Упр.16.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$3\log_5(4)\cdot\log_6(5)\cdot\log_7(6)\cdot\log_8(7)$$
2. б) $$\log_2(10)\cdot\log_3(2)\cdot\log_4(3)\cdot\log_5(4)\cdot\ldots\cdot\log_{1000}(999)$$

а) $$3\log_5 4\cdot \log_6 5\cdot \log_7 6\cdot \log_8 7$$

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Тогда

$$3\log_5 4\cdot \log_6 5\cdot \log_7 6\cdot \log_8 7 =3\cdot \frac{\log_5 4}{\log_5 6}\cdot \frac{\log_6 5}{\log_6 7}\cdot \frac{\log_7 6}{\log_7 8}$$

Сокращая, получаем

$$=3\cdot \frac{\log_5 4}{\log_8 8}=3\log_8 4$$

$$3\log_8 4=3\log_{2^3}2^2=3\cdot \frac{2}{3}=2$$

б) $$\log_2 10\cdot \log_3 2\cdot \log_4 3\cdot \log_5 4\cdot \ldots \cdot \log_{1000}999$$

Преобразуем каждый логарифм:

$$\log_2 10\cdot \log_3 2\cdot \log_4 3\cdot \ldots \cdot \log_{1000}999 =\frac{\lg 10}{\lg 2}\cdot \frac{\lg 2}{\lg 3}\cdot \frac{\lg 3}{\lg 4}\cdot \ldots \cdot \frac{\lg 999}{\lg 1000}$$

Все промежуточные множители сокращаются:

$$=\frac{\lg 10}{\lg 1000}=\frac{1}{3}$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$\frac{1}{3}$$.