Упр.16.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Вычислите:

а) $$16(\log_9(45)-1)\cdot\log_{11}(9)\cdot\log_5(121);$$
б) $$\log_{15}(3)\cdot\log_5(3)\cdot\log_{\sqrt{3}}(5)\cdot(1+\log_3(5)).$$

а) Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:

$$16(\log_9 45-1)\cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 121 =16(\log_9 45-\log_9 9)\cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 121$$

$$=16\log_9 \frac{45}{9}\cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 121 =16\log_9 5\cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 121$$

$$=16\cdot \frac{\log_5 9}{\log_5 11}\cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 121 =16\cdot \log_5 9 \cdot \log_5 121 \cdot \frac{1}{\log_5 11}\cdot \log_{11} 9$$

Так как $$\log_5 9\cdot \log_9 11=\log_5 11$$, то удобнее сгруппировать так:

$$16\log_9 5\cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 121 =16\cdot \log_{11} 121 =16\cdot 2=32$$

б) Преобразуем выражение:

$$\log_{15} 3\cdot \log_5 3\cdot \log_{\sqrt3} 5\cdot (1+\log_3 5)$$

Так как $$1+\log_3 5=\log_3 3+\log_3 5=\log_3 15,$$ получаем:

$$\log_{15} 3\cdot \log_5 3\cdot \log_{\sqrt3} 5\cdot \log_3 15$$

Сгруппируем множители:

$$\log_{15} 3\cdot \log_3 15=1$$

и

$$\log_5 3\cdot \log_{\sqrt3} 5 =\log_5 3\cdot \frac{\log_3 5}{\log_3 \sqrt3} =\log_5 3\cdot \frac{\log_3 5}{1/2} =2\log_5 3\cdot \log_3 5=2$$

Тогда всё выражение равно:

$$1\cdot 2=2$$

Ответ: а) $$32$$; б) $$2$$.