Упр.16.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Докажите, что при заданных условиях выполняется требуемое равенство:

а) $$\lg\frac{a+b}{3}=\frac{1}{2}(\lg a+\lg b)$$, если $$a^2+b^2=7ab$$;

б) $$\lg\frac{a+2b}{4}=\frac{1}{2}(\lg a+\lg b)$$, если $$a^2+4b^2=12ab$$.

Подробный ответ

Проверим равенства, используя свойства логарифмов и данное условие.

а)

$$\frac12(\lg a+\lg b)=\frac12\lg(ab)=\lg\sqrt{ab}.$$

Нужно доказать, что
$$\lg\frac{a+b}{3}=\lg\sqrt{ab},$$
то есть
$$\frac{a+b}{3}=\sqrt{ab}.$$
Возведём в квадрат:
$$\frac{(a+b)^2}{9}=ab.$$
Тогда
$$a^2+2ab+b^2=9ab,$$
$$a^2+b^2=7ab.$$
Это и есть данное условие, значит,
$$\lg\frac{a+b}{3}=\frac12(\lg a+\lg b).$$

б)

$$\frac12(\lg a+\lg b)=\frac12\lg(ab)=\lg\sqrt{ab}.$$

Нужно доказать, что
$$\lg\frac{a+2b}{4}=\lg\sqrt{ab},$$
то есть
$$\frac{a+2b}{4}=\sqrt{ab}.$$
Возведём в квадрат:
$$\frac{(a+2b)^2}{16}=ab.$$
Тогда
$$a^2+4ab+4b^2=16ab,$$
$$a^2+4b^2=12ab.$$
Это и есть данное условие, значит,
$$\lg\frac{a+2b}{4}=\frac12(\lg a+\lg b).$$