Упр.16.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\log_x 8-\log_x 2=2$$; в) $$\log_x 3+\log_x 9=3$$; б) $$\log_x 2+\log_x 8=4$$; г) $$\log_x\sqrt{5}+\log_x(25\sqrt{5})=3$$.

Используем свойство логарифмов:

$$\log_x a-\log_x b=\log_x \frac{a}{b}, \qquad \log_x a+\log_x b=\log_x (ab).$$

1. $$\log_x 8-\log_x 2=2$$

   $$\log_x \frac{8}{2}=2 \;\Rightarrow\; \log_x 4=2$$

   $$x^2=4$$

   Так как основание логарифма должно удовлетворять условиям $$x>0,\; x\ne 1,$$ получаем $$x=2.$$

2. $$\log_x 2+\log_x 8=4$$

   $$\log_x (2\cdot 8)=4 \;\Rightarrow\; \log_x 16=4$$

   $$x^4=16$$

   С учётом $$x>0,\; x\ne 1$$ имеем $$x=2.$$

3. $$\log_x 3+\log_x 9=3$$

   $$\log_x (3\cdot 9)=3 \;\Rightarrow\; \log_x 27=3$$

   $$x^3=27$$

   Отсюда $$x=3.$$

4. $$\log_x \sqrt{5}+\log_x (25\sqrt{5})=3$$

   $$\log_x \bigl(\sqrt{5}\cdot 25\sqrt{5}\bigr)=3 \;\Rightarrow\; \log_x 125=3$$

   $$x^3=125$$

   Следовательно, $$x=5.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$2$$; в) $$3$$; г) $$5$$.