Упр.16.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_{2}(3x)=\log_{2}(4)+\log_{2}(6);$$

   б) $$\log_{\sqrt{3}}\left(\frac{x}{2}\right)=\log_{\sqrt{3}}(6)+\log_{\sqrt{3}}(2);$$

   в) $$\log_{4}(5x)-\log_{4}(35)-\log_{4}(7);$$

   г) $$\log_{\sqrt{2}}\left(\frac{x}{3}\right)=\log_{\sqrt{2}}(15)-\sqrt{2}(6).$$

Используем свойство логарифма: $$\log_a m+\log_a n=\log_a(mn), \qquad \log_a m-\log_a n=\log_a\left(\frac{m}{n}\right).$$

1. $$\log_2(3x)=\log_2 4+\log_2 6=\log_2(4\cdot 6)=\log_2 24.$$

   Тогда $$3x=24,$$ откуда $$x=8.$$

2. $$\log_{\sqrt{3}}\left(\frac{x}{2}\right)=\log_{\sqrt{3}}6+\log_{\sqrt{3}}2=\log_{\sqrt{3}}(6\cdot 2)=\log_{\sqrt{3}}12.$$

   Следовательно, $$\frac{x}{2}=12,$$ значит $$x=24.$$

3. $$\log_4(5x)-\log_4 35-\log_4 7=\log_4\left(\frac{5x}{35\cdot 7}\right)=\log_4\left(\frac{x}{49}\right).$$

   По условию уравнения получаем $$\log_4(5x)=\log_4 35-\log_4 7=\log_4\left(\frac{35}{7}\right)=\log_4 5,$$

   значит $$5x=5,$$ откуда $$x=1.$$

4. $$\log_{\sqrt{2}}\left(\frac{x}{3}\right)=\log_{\sqrt{2}}15-\log_{\sqrt{2}}6=\log_{\sqrt{2}}\left(\frac{15}{6}\right)=\log_{\sqrt{2}}\left(\frac{5}{2}\right).$$

   Тогда $$\frac{x}{3}=\frac{5}{2},$$ значит $$x=\frac{15}{2}=7{,}5.$$

Ответ: а) $$8$$; б) $$24$$; в) $$1$$; г) $$7{,}5$$.