Упр.16.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Прологарифмируйте по основанию $$5$$:
   а) $$\frac{125a^4}{b^4}$$;
   б) $$\frac{625\left(\sqrt{ab}\right)^3}{c^{1/2}}$$;
   в) $$\frac{25\sqrt[5]{a^6b^7}}{c^3}$$;
   г) $$\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3}$$.

Используем свойства логарифмов:

$$\log_5(uv)=\log_5 u+\log_5 v,\qquad \log_5\frac{u}{v}=\log_5 u-\log_5 v,\qquad \log_5 u^n=n\log_5 u.$$

Ход решения

1. $$\log_5\frac{125a^4}{b^4}=\log_5 125+\log_5 a^4-\log_5 b^4.$$

   Так как $$125=5^3,$$ то

   $$\log_5\frac{125a^4}{b^4}=3+4\log_5 a-4\log_5 b.$$

2. $$\log_5\frac{625(\sqrt{ab})^3}{c^{1/2}}=\log_5 625+\log_5(\sqrt{ab})^3-\log_5 c^{1/2}.$$

   Так как $$625=5^4,\qquad (\sqrt{ab})^3=(ab)^{3/2}=a^{3/2}b^{3/2},$$ получаем

   $$\log_5\frac{625(\sqrt{ab})^3}{c^{1/2}}=4+\frac{3}{2}\log_5 a+\frac{3}{2}\log_5 b-\frac{1}{2}\log_5 c.$$

3. $$\log_5\frac{25\sqrt5\,a^6b^7}{c^3}=\log_5 25+\log_5\sqrt5+\log_5 a^6+\log_5 b^7-\log_5 c^3.$$

   Так как $$25=5^2,\qquad \sqrt5=5^{1/2},$$ то

   $$\log_5\frac{25\sqrt5\,a^6b^7}{c^3}=\frac{5}{2}+6\log_5 a+7\log_5 b-3\log_5 c.$$

4. $$\log_5\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3}=\log_5\left(a^6\cdot b^{-2/5}\right)^{-3}.$$

   Тогда

   $$\log_5\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3}=\log_5 a^{-18}+\log_5 b^{6/5}=-18\log_5 a+\frac{6}{5}\log_5 b.$$

Ответ

а) $$3+4\log_5 a-4\log_5 b$$;

б) $$4+\frac{3}{2}\log_5 a+\frac{3}{2}\log_5 b-\frac{1}{2}\log_5 c$$;

в) $$\frac{5}{2}+6\log_5 a+7\log_5 b-3\log_5 c$$;

г) $$-18\log_5 a+\frac{6}{5}\log_5 b$$.