Упр.16.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Выразите $$\log_n x$$ через логарифмы по основанию $$n$$ чисел $$a$$, $$b$$, $$c$$, если известно, что положительные числа $$x$$, $$a$$, $$b$$, $$c$$ связаны соотношением:

а) $$x=\frac{ab^2}{c}$$;

б) $$x=\frac{a^2c^3}{\sqrt{b}}$$.

Используем свойства логарифмов:

$$\log_n \frac{uv}{w}=\log_n u+\log_n v-\log_n w,$$

$$\log_n u^k=k\log_n u,$$

$$\log_n \sqrt{b}=\log_n b^{\frac12}=\frac12\log_n b.$$

1. $$x=\frac{ab^2}{c}.$$

   Тогда

   $$\log_n x=\log_n \frac{ab^2}{c}=\log_n a+\log_n b^2-\log_n c.$$

   Следовательно,

   $$\log_n x=\log_n a+2\log_n b-\log_n c.$$

2. $$x=\frac{a^2c^3}{\sqrt{b}}.$$

   Тогда

   $$\log_n x=\log_n \frac{a^2c^3}{\sqrt{b}}=\log_n a^2+\log_n c^3-\log_n b^{\frac12}.$$

   Следовательно,

   $$\log_n x=2\log_n a+3\log_n c-\frac12\log_n b.$$

Ответ

а) $$\log_n x=\log_n a+2\log_n b-\log_n c$$;

б) $$\log_n x=2\log_n a+3\log_n c-\frac12\log_n b$$.