Упр.16.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Найдите число $$x$$ по данному его логарифму:
а) $$\log_2(x)=\log_2(72)-\log_2(9)$$;
б) $$\log_{\sqrt{7}}(x)=2\log_{\sqrt{7}}(4)-\log_{\sqrt{7}}(2)+\log_{\sqrt{7}}(5)$$;
в) $$\lg x=\lg\frac{1}{8}+\lg\frac{1}{125}$$;
г) $$\log_{\frac{1}{3}}(x)=\log_{\frac{1}{3}}\frac{7}{9}+\log_{\frac{1}{3}}(21)-2\log_{\frac{1}{3}}(7)$$.

Подробный ответ

a) $$\log_2 x=\log_2 72-\log_2 9=\log_2 \frac{72}{9}=\log_2 8,$$ значит, $$x=8.$$

б) $$\log_{\sqrt7} x=2\log_{\sqrt7}4-\log_{\sqrt7}2+\log_{\sqrt7}5.$$

Так как $$2\log_{\sqrt7}4=\log_{\sqrt7}4^2=\log_{\sqrt7}16,$$ то

$$\log_{\sqrt7} x=\log_{\sqrt7}16-\log_{\sqrt7}2+\log_{\sqrt7}5=\log_{\sqrt7}\frac{16\cdot 5}{2}=\log_{\sqrt7}40,$$

следовательно, $$x=40.$$

в) $$\lg x=\lg \frac18+\lg \frac1{125}=\lg \left(\frac18\cdot \frac1{125}\right)=\lg \frac1{1000}=\lg 0{,}001,$$ значит, $$x=0{,}001.$$

г) $$\log_{\frac13} x=\log_{\frac13}\frac79+\log_{\frac13}21-2\log_{\frac13}7.$$

Преобразуем:

$$2\log_{\frac13}7=\log_{\frac13}7^2,$$

тогда

$$\log_{\frac13} x=\log_{\frac13}\left(\frac79\cdot 21\right)-\log_{\frac13}7^2=\log_{\frac13}\frac{7\cdot 21}{9\cdot 7^2}=\log_{\frac13}\frac13,$$