Упр.16.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Известно, что $$\log_{\frac{1}{2}}(7)=c$$ и $$\log_{\frac{1}{2}}(3)=a$$. Выразите через $$c$$ и $$a$$:
   а) $$\log_{\frac{1}{2}}(21)$$;
   б) $$\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{42}\right)$$;
   в) $$\log_{\frac{1}{2}}(147)$$;
   г) $$\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{49}{\sqrt{3}}\right)$$.

Используем свойства логарифмов:

$$\log_{\frac12}(xy)=\log_{\frac12}x+\log_{\frac12}y,$$

$$\log_{\frac12}\frac{x}{y}=\log_{\frac12}x-\log_{\frac12}y,$$

$$\log_{\frac12}(x^n)=n\log_{\frac12}x.$$

1. $$\log_{\frac12}21=\log_{\frac12}(7\cdot 3)=\log_{\frac12}7+\log_{\frac12}3=c+a.$$

2. $$\log_{\frac12}\frac{1}{42}=\log_{\frac12}\left(\frac{1}{2\cdot 7\cdot 3}\right)=\log_{\frac12}1-\log_{\frac12}2-\log_{\frac12}7-\log_{\frac12}3.$$

   Так как $$\log_{\frac12}1=0,\quad \log_{\frac12}2=-1,$$ то

   $$\log_{\frac12}\frac{1}{42}=0-(-1)-c-a=1-c-a.$$

3. $$\log_{\frac12}147=\log_{\frac12}(49\cdot 3)=\log_{\frac12}(7^2\cdot 3)=2\log_{\frac12}7+\log_{\frac12}3=2c+a.$$

4. $$\log_{\frac12}\frac{49}{\sqrt{3}}=\log_{\frac12}49-\log_{\frac12}\sqrt{3}=\log_{\frac12}(7^2)-\log_{\frac12}(3^{1/2})$$

   $$=2\log_{\frac12}7-\frac12\log_{\frac12}3=2c-\frac12 a.$$

Ответ: а) $$c+a$$; б) $$1-c-a$$; в) $$2c+a$$; г) $$2c-\frac12 a$$.