Упр.16.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_3(4)$$ и $$\sqrt[4]{2}$$; б) $$\log_2(3)$$ и $$\sqrt[3]{7}$$.

Пусть $$a=\log_3 4,\qquad b=\sqrt[4]{2}.$$

Сравним числа, возведя их в четвёртую степень:

$$a=\log_3 4=\frac14\log_3 4^4=\frac14\log_3 256,$$

а так как $$256>243=3^5,$$ то

$$\log_3 256>\log_3 243=5,$$

следовательно,

$$a>\frac54.$$

Теперь для второго числа:

$$b=\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{\frac{625}{256}}=\frac54,$$

значит,

$$b<\frac54.$$

Итак,

$$\log_3 4>\sqrt[4]{2}.$$

Пусть теперь $$a=\log_2 3,\qquad b=\sqrt[3]{7}.$$

Тогда

$$a=\log_2 3=\frac15\log_2 3^5=\frac15\log_2 243,$$

а так как $$243<256=2^8,$$ то

$$\log_2 243<\log_2 256=8,$$

следовательно,

$$a<\frac85.$$

Для второго числа:

$$b=\sqrt[3]{7}>\sqrt[3]{\frac{512}{125}}=\frac85.$$

Значит,

$$\log_2 3<\sqrt[3]{7}.$$

Ответ: а) $$\log_3 4>\sqrt[4]{2}$$; б) $$\log_2 3<\sqrt[3]{7}$$.