Упр.16.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Сравните числа: а) $$\log_3 4$$ и $$\sqrt[3]{9}$$; б) $$\log_{0,5} 3$$ и $$\sin 3$$; в) $$\log_2 5$$ и $$\sqrt[3]{7}$$; г) $$\lg 0,2$$ и $$\cos 0,2$$.

а) Так как функция $$y=\log_3 x$$ возрастает, а $$4<9,$$ то

$$\log_3 4<\log_3 9=2.$$

Кроме того, $$9<27,$$ значит

$$\sqrt[3]{9}<\sqrt[3]{27}=3.$$

Но $$\log_3 4>1$$ и $$\sqrt[3]{9}>2,$$ поэтому сравним напрямую: $$\log_3 4<2<\sqrt[3]{9}.$$

Следовательно, $$\log_3 4<\sqrt[3]{9}.$$

б) Основание логарифма $$0{,}5<1,$$ значит функция $$y=\log_{0{,}5}x$$ убывает. Так как $$3>1,$$ то

$$\log_{0{,}5}3<\log_{0{,}5}1=0.$$

При этом $$3\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),$$ поэтому

$$\sin 3>0.$$

Значит,

$$\log_{0{,}5}3<\sin 3.$$

в) Так как $$2<5<8,$$ а функция $$y=\log_2 x$$ возрастает, то

$$\log_2 4<\log_2 5<\log_2 8,$$

откуда

$$2<\log_2 5<3.$$

С другой стороны, $$1<7<8,$$ значит

$$1<\sqrt[3]{7}<2.$$

Следовательно,

$$\log_2 5>\sqrt[3]{7}.$$

г) Так как $$0<0{,}2<1,$$ то

$$\lg 0{,}2<\lg 1=0.$$

Кроме того, $$0<0{,}2<\frac{\pi}{2},$$ а на промежутке $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ функция косинуса убывает, поэтому

$$\cos 0{,}2>\cos \frac{\pi}{2}=0.$$

Значит,

$$\lg 0{,}2<\cos 0{,}2.$$

Ответ

а) $$\log_3 4<\sqrt[3]{9}$$; б) $$\log_{0{,}5}3<\sin 3$$; в) $$\log_2 5>\sqrt[3]{7}$$; г) $$\lg 0{,}2<\cos 0{,}2$$.