Упр.16.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

$$\log_4 \sin \frac{\pi}{16}+\log_4 \cos \frac{\pi}{16}+\log_4\left(\cos \frac{\pi}{16}-\sin \frac{\pi}{16}\right)-\log_4\left(\cos \frac{\pi}{16}+\sin \frac{\pi}{16}\right)^{-1}$$

Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:

$$\log_4 \sin \frac{\pi}{16}+\log_4 \cos \frac{\pi}{16}+\log_4\left(\cos \frac{\pi}{16}-\sin \frac{\pi}{16}\right)+\log_4\left(\cos \frac{\pi}{16}+\sin \frac{\pi}{16}\right)$$

$$=\log_4\left(\sin \frac{\pi}{16}\cdot \cos \frac{\pi}{16}\right)+\log_4\left(\left(\cos \frac{\pi}{16}-\sin \frac{\pi}{16}\right)\left(\cos \frac{\pi}{16}+\sin \frac{\pi}{16}\right)\right)$$

$$=\log_4\left(\sin \frac{\pi}{16}\cdot \cos \frac{\pi}{16}\right)+\log_4\left(\cos^2 \frac{\pi}{16}-\sin^2 \frac{\pi}{16}\right)$$

Так как $$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x,$$ а $$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$ то

$$\sin \frac{\pi}{16}\cdot \cos \frac{\pi}{16}=\frac12 \sin \frac{\pi}{8}, \qquad \cos^2 \frac{\pi}{16}-\sin^2 \frac{\pi}{16}=\cos \frac{\pi}{8}.$$

Тогда

$$\log_4\left(\frac12 \sin \frac{\pi}{8}\right)+\log_4\left(\cos \frac{\pi}{8}\right) =\log_4\left(\frac12 \sin \frac{\pi}{8}\cdot \cos \frac{\pi}{8}\right).$$

Снова используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$\frac12 \sin \frac{\pi}{8}\cdot \cos \frac{\pi}{8} =\frac14 \sin \frac{\pi}{4} =\frac14 \cdot \frac{\sqrt2}{2} =2^{-2}\cdot 2^{-1/2}=2^{-5/2}.$$

Следовательно,

$$\log_4 2^{-5/2}=\log_{2^2}2^{-5/2}=\frac12\log_2 2^{-5/2} =\frac12\cdot\left(-\frac52\right)=-\frac54=-1{,}25.$$