Упр.16.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\log_3\!\left(2\tg\frac{\pi}{8}\right)-\log_3\!\left(1-\tg^2\frac{\pi}{8}\right)=\log_3\!\left(\frac{2\tg\frac{\pi}{8}}{1-\tg^2\frac{\pi}{8}}\right)=\log_3\!\left(\tg\frac{\pi}{4}\right)=\log_3 1=0.$$
б) $$\log_{\sqrt3}\!\left(\tg\frac{\pi}{19}\right)+\log_{\sqrt3}\!\left(\ctg\frac{\pi}{19}\right)=\log_{\sqrt3}\!\left(\tg\frac{\pi}{19}\cdot\ctg\frac{\pi}{19}\right)=\log_{\sqrt3}1=0.$$
в) $$\log_{\frac13}\!\left(2\tg\frac{\pi}{6}\right)+\log_{\frac13}\!\left(1-\tg^2\frac{\pi}{6}\right)^{-1}=\log_{\frac13}\!\left(\frac{2\tg\frac{\pi}{6}}{1-\tg^2\frac{\pi}{6}}\right)=\log_{\frac13}\!\left(\tg\frac{\pi}{3}\right).$$
Так как $$\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt3=(\tfrac13)^{-\frac12},$$ то
$$\log_{\frac13}\sqrt3=\log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-\frac12}=-\frac12.$$
г) $$\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{\pi}{7}\right)+\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{5\pi}{14}\right)=\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{\pi}{7}\cdot\tg\frac{5\pi}{14}\right).$$
Поскольку $$\tg\frac{5\pi}{14}=\ctg\frac{\pi}{7},$$ получаем
$$\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{\pi}{7}\cdot\ctg\frac{\pi}{7}\right)=\log_{\frac12}1=0.$$
Ответ
а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$-\frac12$$; г) $$0$$.
