Упр.15.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите область определения функции:

а) $$y=\log_{8,1}\left(2(x^2-5x+7)-2\right)$$; в) $$y=\log_{0,6}\left(\frac{2(x^2-5x+7)-2}{x}\right)$$; б) $$y=\log_{2}\left(\log_{0,1}(x)\right)$$; г) $$y=\log_{0,2}\left(\log_{3}(x)\right)$$.

а) Для существования логарифма нужно, чтобы его аргумент был положительным:

$$2x^2-5x+7-2>0$$

$$2x^2-5x+5>0$$

Дискриминант:

$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 5=25-40=-15<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, то $$2x^2-5x+5>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

Ответ: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

б) Для функции $$y=\log_2(\log_{0,1}x)$$ нужно:

$$\log_{0,1}x>0,$$

и одновременно $$x>0.$$

Так как основание $$0,1<1,$$ то неравенство $$\log_{0,1}x>0$$ равносильно

$$0<x<1.$$

Ответ: $$D(y)=(0;1).$$

в) Для существования логарифма нужно:

$$\frac{2x^2-5x+7-2}{x}>0,$$

то есть

$$\frac{2x^2-5x+5}{x}>0,\qquad x\ne 0.$$

Числитель $$2x^2-5x+5>0$$ при всех $$x$$, значит знак дроби определяется знаком знаменателя. Поэтому

$$x>0.$$

Ответ: $$D(y)=(0;+\infty).$$

г) Для функции $$y=\log_{0,2}(\log_3 x)$$ нужно:

$$\log_3 x>0.$$

Так как основание $$3>1,$$ получаем

$$x>1.$$

Ответ: $$D(y)=(1;+\infty).$$