Упр.15.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\log_{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{1}{2}\right)>x^2$$;

в) $$\log_{0,3}(x)\leq x^2-1$$;

б) $$\lg x+1\leq -x^2+2$$;

г) $$\lg(-x)+1\geq -x^2+1$$.

а) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac12}\left(x-\frac12\right)$$ и $$g(x)=x^2.$$

Область определения: $$x-\frac12>0,$$ то есть $$x>\frac12.$$

На промежутке $$\left(\frac12;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает. Значит, неравенство $$\log_{\frac12}\left(x-\frac12\right)>x^2$$ выполняется между точками их пересечения.

Найдём пересечение:

$$\log_{\frac12}\left(x-\frac12\right)=x^2.$$

При $$x=1$$ получаем:

$$\log_{\frac12}\left(1-\frac12\right)=\log_{\frac12}\frac12=1,\qquad 1^2=1.$$

Следовательно, $$x=1$$ — точка пересечения, и

$$x\in\left(\frac12;1\right).$$

б) Рассмотрим функции $$f(x)=\lg x+1$$ и $$g(x)=-x^2+2.$$

Область определения: $$x>0.$$

На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Значит, решение лежит между точками пересечения.

Найдём пересечение:

$$\lg x+1=-x^2+2.$$

При $$x=1$$:

$$\lg 1+1=0+1=1,\qquad -1^2+2=1.$$

Значит,

$$x\in(0;1].$$

в) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{0,3}x$$ и $$g(x)=x^2-1.$$

Область определения: $$x>0.$$

Так как основание логарифма $$0<0{,}3<1,$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$

Найдём точку пересечения:

$$\log_{0,3}x=x^2-1.$$

При $$x=1$$:

$$\log_{0,3}1=0,\qquad 1^2-1=0.$$

Следовательно,

$$x\in[1;+\infty).$$

г) Рассмотрим функции $$f(x)=\lg(-x)$$ и $$g(x)=-x^2+1.$$

Область определения: $$-x>0,$$ то есть $$x<0.$$

На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает. Значит, решение лежит правее точки пересечения.

Найдём пересечение:

$$\lg(-x)=-x^2+1.$$

При $$x=-1$$:

$$\lg 1=0,\qquad -(-1)^2+1=0.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-1].$$

Ответ: а) $$\left(\frac12;1\right)$$; б) $$\left(0;1\right]$$; в) $$[1;+\infty)$$; г) $$(-\infty;-1].$$