Упр.15.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$\log_2(x) \geq \frac{2}{x}$$; в) $$\log_2(-x) \leq -\frac{2}{x}$$; б) $$\log_3(x) \leq \frac{3}{x}$$; г) $$\log_3(-x) \geq -\frac{3}{x}$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_2 x$$ и $$g(x)=\frac{2}{x}.$$

На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Поэтому неравенство $$\log_2 x \ge \frac{2}{x}$$ выполняется при всех $$x$$, начиная с точки их пересечения.

Найдём её: при $$x=2$$ имеем

$$\log_2 2=1,\qquad \frac{2}{2}=1.$$

Значит,

$$x\in[2;+\infty).$$

б) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_3 x$$ и $$g(x)=\frac{3}{x}.$$

На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Следовательно, неравенство $$\log_3 x \le \frac{3}{x}$$ выполняется до точки их пересечения включительно.

При $$x=3$$:

$$\log_3 3=1,\qquad \frac{3}{3}=1.$$

Отсюда

$$x\in(0;3].$$

в) Область определения: $$x<0.$$

Пусть $$f(x)=\log_2(-x)$$ и $$g(x)=-\frac{2}{x}.$$ На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает. Значит, неравенство $$\log_2(-x)\le -\frac{2}{x}$$ выполняется до точки пересечения включительно.

При $$x=-2$$:

$$\log_2(-(-2))=\log_2 2=1,\qquad -\frac{2}{-2}=1.$$

Следовательно,

$$x\in[-2;0).$$

г) Область определения: $$x<0.$$

Пусть $$f(x)=\log_3(-x)$$ и $$g(x)=-\frac{3}{x}.$$ На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает. Поэтому неравенство $$\log_3(-x)\ge -\frac{3}{x}$$ выполняется, начиная с точки пересечения и левее её.

При $$x=-3$$:

$$\log_3(-(-3))=\log_3 3=1,\qquad -\frac{3}{-3}=1.$$

Значит,

$$x\in(-\infty;-3].$$