Упр.15.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\log_3(x)\le 4-x$$; в) $$\log_5(x)\ge 6-x$$; б) $$\log_{\frac{1}{2}}(x)
а) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_3 x$$ и $$g(x)=4-x.$$
На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Найдём точку их пересечения:
$$\log_3 x=4-x.$$
Проверим значение $$x=3$$:
$$\log_3 3=1,\qquad 4-3=1.$$
Значит, точка пересечения — $$x=3$$. Тогда
$$x\in(0;3].$$
б) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac12} x$$ и $$g(x)=x+\frac12.$$
На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает. Найдём точку их пересечения:
$$\log_{\frac12} x=x+\frac12.$$
Проверим значение $$x=\frac12$$:
$$\log_{\frac12}\frac12=1,\qquad \frac12+\frac12=1.$$
Следовательно,
$$x\in\left[\frac12;+\infty\right).$$
в) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_5 x$$ и $$g(x)=6-x.$$
На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Найдём точку их пересечения:
$$\log_5 x=6-x.$$
Проверим значение $$x=5$$:
$$\log_5 5=1,\qquad 6-5=1.$$
Значит,
$$x\in[5;+\infty).$$
г) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac13} x$$ и $$g(x)=x+\frac23.$$
На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает. Найдём точку их пересечения:
$$\log_{\frac13} x=x+\frac23.$$
Проверим значение $$x=\frac13$$:
$$\log_{\frac13}\frac13=1,\qquad \frac13+\frac23=1.$$
Следовательно,
$$x\in\left(0;\frac13\right).$$
Ответ
а) $$x\in(0;3]$$; б) $$x\in\left[\frac12;+\infty\right)$$; в) $$x\in[5;+\infty)$$; г) $$x\in\left(0;\frac13\right).$$
