Упр.15.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_2 x$$ и $$g(x)=-x+1.$$

На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Значит, неравенство $$\log_2 x\ge -x+1$$ выполняется при всех $$x$$, начиная с точки их пересечения.

Найдём точку пересечения:

$$\log_2 1=0,\qquad -1+1=0.$$

Следовательно, $$x=1$$.

Ответ: $$x\in\left[1;+\infty\right).$$

б) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac{3}{7}} x$$ и $$g(x)=4x-4.$$

Так как основание логарифма $$\frac{3}{7}<1$$, функция $$f(x)$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а функция $$g(x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$. Поэтому неравенство $$\log_{\frac{3}{7}} x>4x-4$$ выполняется слева от точки пересечения.

Найдём её:

$$\log_{\frac{3}{7}} 1=0,\qquad 4\cdot 1-4=0.$$

Значит, $$x=1$$.

Ответ: $$x\in\left(0;1\right).$$

в) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_2 x$$ и $$g(x)=-x+1.$$

Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а функция $$g(x)$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$. Тогда неравенство $$\log_2 x\le -x+1$$ выполняется до точки пересечения включительно.

Точка пересечения та же:

$$\log_2 1=0,\qquad -1+1=0.$$

Ответ: $$x\in\left(0;1\right].$$

г) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac{1}{3}} x$$ и $$g(x)=2x-2.$$

Так как $$\frac{1}{3}<1$$, функция $$f(x)$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а функция $$g(x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$. Поэтому неравенство $$\log_{\frac{1}{3}} x<2x-2$$ выполняется справа от точки пересечения.

Найдём точку пересечения:

$$\log_{\frac{1}{3}} 1=0,\qquad 2\cdot 1-2=0.$$

Следовательно, $$x=1$$.

Ответ: $$x\in\left(1;+\infty\right).$$