Упр.15.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

При каких значениях $$x$$ график заданной логарифмической функции расположен ниже графика заданной линейной функции:
а) $$y=\log_4(x-1)$$, $$y=-x+2$$;
б) $$y=\log_{\frac{1}{2}}(x+4)$$, $$y=-3x-2$$?

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство

$$\log_4(x-1)<-x+2.$$

Область определения: $$x-1>0,$$ то есть $$x>1.$$

Функция $$y=\log_4(x-1)$$ возрастает при $$x>1,$$ а функция $$y=-x+2$$ убывает. Значит, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдём её:

$$\log_4(x-1)=-x+2.$$

Проверим значение $$x=2$$:

$$\log_4(2-1)=\log_4 1=0,$$

$$-2+2=0.$$

Точка пересечения: $$x=2.$$

Так как при $$x\to 1+$$ логарифмическая функция стремится к $$-\infty$$ и лежит ниже прямой, а после точки пересечения становится выше, то искомые значения:

$$1<x<2.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\log_{\frac12}(x+4)<-3x-2.$$

Область определения: $$x+4>0,$$ то есть $$x>-4.$$

Функция $$y=\log_{\frac12}(x+4)$$ убывает на $$(-4;+\infty),$$ и функция $$y=-3x-2$$ тоже убывает. Найдём точку пересечения:

$$\log_{\frac12}(x+4)=-3x-2.$$

Проверим значение $$x=0$$:

$$\log_{\frac12}(0+4)=\log_{\frac12}4=-2,$$

$$-3\cdot 0-2=-2.$$

Точка пересечения: $$x=0.$$

При $$x>0$$ логарифмическая функция лежит ниже прямой, а при $$-4<x<0$$ — выше. Поэтому

$$x>0.$$